විභාගයෙන් ගණන් පාස් වෙන්න අලුත් ක්‍රමයක්
ගණිත සංකල්ප ලෙහෙසියෙන් තේරුම් කිරීම සඳහා යොදාගත හැකි පුපුරණ ගෝල ක්‍රියාකාරකම “දේශය” පුවත්පතෙන් ඉදිරිපත් කිරීමත් සමග ලෝක ගණිත ව්‍යාපෘතිය සඳහා ලංකාවේ බහුතර පිරිසක් අලුතෙන්ම ලියාපදිංචි වී සිටිති. කොළඹ, ගම්පහ, ගාල්ල, මාතර, කළුතර, මතුගම, හලාවත, රුවන්වැල්ල, මාදම්පේ, ඇතුළු ප්‍රදේශ රැසකින් GMP ගණිත සංකල්ප ව්‍යාපෘතියට ලියාපදිංචි වී සිටින බව ආචාර්ය ගයා ජයකොඩි දන්වා තිබේ. එසේම දේශය ගණිත ලිපිය කියැවීමෙන් පසු කෑගල්ල දිස්ත්‍රික්කයේ ගණිතය පිළිබඳ අධ්‍යාපන අධ්‍යක්ෂවරයා එම ප්‍රදේශයේ ගුරුවරුන් සියයකට අධික පිරිසකට මෙම අලුත් ගණිත ක්‍රියාකාරකම ගැන දැනුම්වත් කිරීමට ආචාර්ය ගයා ජයකොඩිට ආරාධනා කර තිබේ.
වයස අවුරුදු 10ට වැඩි ගණිතය ගැන උනන්දු සැමට www.theglobalmathproject.org වෙත පිවිසීමෙන් ඔක්තෝබර් මාසයේ පැවැත්වෙන ගණිත සතියට එක්විය හැකි අතර ‘පුපුරණ ගෝල’ ගණිත ක්‍රියාකාරකම ගැන වැඩිදුර අවබෝධය ලබාගන්නටද හැකිය. The Global maths Project Sri Lanka/ Facebook පිටුවට සම්බන්ධ වීමෙන් මේ සම්බන්ධව ලංකාව තුළ සිදුකෙරෙන ක්‍රියාකාරකම් ගැන දැනුම්වත් වන්නටත් පුළුවනි.
දැන් මේ ගැන වීඩියෝ මගින් දැනුම ලබාගන්නටත් අවස්ථාව ලැබී තිබේ. ආචාර්ය ගයා ජයකොඩි ‘Exploding dots’ නමින් සිංහල පැහැදිලි කිරීම් සහිත වීඩියෝ නිදර්ශක කිහිපයක් You Tube අඩවියට ඇතුළත් කර ඇත. දේශය පුවත්පත කියවන ගමන් මේ වීඩියෝ නරඹමින් ඔබට මේ නව සංකල්පය වඩාත් හොඳින් හඳුනා තහවුරු කරගන්නට හැකිවේවි.
පුපුරන ගෝල කතාංගය - අද අඩු කිරීම
දැන් ජේම්ස්ට දහය-එක පුපුරන ගෝල යන්ත්‍රයත් එක්ක තවත් නොයෙකුත් ගවේෂණ කරන්න පුදුම උනන්දුවක් තියෙන්නේ. දහය-එක පුපුරන ගෝල යන්ත්‍රය, අපේ සංඛ්‍යා පද්ධතිය ලස්සනට පෙන්නුම් කරන නිසා, අපි සංඛ්‍යා එක්ක කරන විවිධ දේ යන්ත්‍රයෙන් ලස්සනට තේරුම් ගන්න පුළුවන්. ජේම්ස් ඉතින් එකතු කිරීම, ගවේෂණය කරානේ. ජේම්ස්ට දැන් ඒ ගණිත කර්මවලට ඉස්කෝලේ කියල දීපු පියවරෙන් පියවර අනුගමනය කරන රීතිය වැඩ කරන හැටි හොඳට තේරෙනවා. ඒ නිසාම, ඒ ක්‍රමයත් එක්ක එයාට ඕනේ ඕනේ විදියට “සෙල්ලන්”දාන්නත් එයාට පුළුවන්! මොකද ඒ පියවරවලදී වෙන දේ එයාට හොඳට තේරෙන නිසා. ඕගොල්ලන්ට මතක ඇතිනේ එයා ඕනේ නම්, වමේ ඉඳන් දකුණටත් නැත්තන් දකුණේ ඉඳන් වමටත්, එහෙමත් නැත්තන් වෙන ඕනෙම අහඹු පිළිවෙළකට එකතු කිරීමේ හෝ අඩු කිරීමේ පටිපාටිය කරල අපිට ඕනේ විදියට උත්තරය ගන්න දන්නවා.
මතක ඇතිනේ ඕගොල්ලන්ට ජේම්ස් අඩු කිරීමට කලින් වැඩි කිරීම කරපු හැටි. ඇයි දන්නවද ඒ?
ජේම්ස් අමුතු විදියට හිතන, අලුතින් හිතන, තර්කානුකූලව හිතන ළමයෙක් නිසා! ඒ මොකක්ද ඒ කතාවේ තේරුම? මෙන්න මේකයි. ජේම්ස් කියනව, අඩු කිරීම කියන්නේ වෙනස්ම ගණිත කර්මයක් නෙමෙයි, එක්තරා විදියක එකතු කිරීමක්මයි කියල!
එක හරි කතාවක්නේ නේද? ඒ කොහොමද එහෙම වෙන්නේ?
අහන්නකො ජේම්ස් කියන දේ. එයා කියනවා, එකතු කිරීමෙයි අඩු කිරීමෙයි තියෙන ප්‍රතිවිරුද්ධ ගතිය ගැන හිතන්නලු. ඒක නම් අපිටත් ටිකක් හිතා ගන්න පුළුවන්නේ නේද? අඩු කරනවා කියන්නේ, එකතු කරනවා කියන එකේ විරුද්ධ දේනේ, ඉතින්?
ඉතින්, ඒ නිසා අඩු කිරීම, එකතු කිරීමේම විරුද්ධ ක්‍රියාවක් විදියට හිතා ගන්න එක ලෙසිලු. ජේම්ස් කියනවා ඉලක්කමක් අඩු කරනවා කියන එක හිතන්නලු, ප්‍රතිවිරැද්ධ ඉලක්කමක් එකතු කරනවා කියල!
උදාහරණයක් කිව්වොත්, 5න් 2ක් අඩු කරනවා කියන්නේ 5ට දෙකේ ප්‍රතිවිරුද්ධ ඉලක්කම එකතු කරනවා කියන එකලු!
ඒ මොකක්ද දෙකේ විරුද්ධ ඉලක්කම?
හරියට හරි!
-2 !
ඒ කියන්නේ 5 අඩු කිරීම 2 කියන්නෙත් 5 එකතු කිරීම (-2) කියන්නෙත් එකමයි. සංකේත වලින්ම ලියනවනම්, 5 - 2 කියන එකයි 5 + (-2) කියන එකයි දෙකම එකයි.
මේ අදහස ටිකක් වෙලා අරගෙන හිතල බලන්න ඕන දෙයක්. හොඳට හිතල බලන්න කතාව ඇත්තද කියල. ජේම්ස් කියන දේ පිළිගන්න පුළුවන්ද? වෙලා ගත්තට කමක් නෑ හොඳට හිතන්න.
හොඳයි, ඉතින් දැන්, මේ විදියට හිතන එක අපි කොහොමද අපේ පුපුරන ගෝල යන්ත්‍රයට ගලපගන්නේ?
පුපුරන ගෝල යන්ත්‍රයේ, එකේ ඉලක්කම පෙන්නුම් කරන්නේ බෝලයකින්නේ. එතකොට ප්‍රශ්න දෙකක් තියෙනවා.
බෝලේට ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙයක් විදියට අපි මොකක්ද අඳින්නේ? අපි මොකක් කියලද ඒක නම් කරන්නේ, බෝලෙට අපි ඇන්දේ තිතක් වගේ දෙයක්නේ. මෙන්න ජෙම්ස්ගේ යෝජනාව:
බෝලය = 1
ප්‍රති-බෝලය = -1
ඉතින් දැන් සංඛ්‍යාවකුයි ඒ සංඛ්‍යාවේ ප්‍රතිවිරුද්ධ සංඛ්‍යාවයි එකට එකතු කරාම මොකද වෙන්නේ? ප්‍රතිවිරැද්ධ දේවල් කැපිල යනවනේ. ඒක තමයි මෙතනත් වෙන්නේ. එකයි, ඍණ එකයි එකතු කරාම, මුකුත් නෑ. ඒ කියන්නේ බින්දුවයි! දෙකයි, ඍණ දෙකයි එකතු කරාම - බින්දුවයි. දහයයි, ඍණ දහයයි එකතු කරාම - බින්දුවයි. බෝලෙකුයි, ප්‍රති-බෝලෙකුයි එකතු කරාම ඒ දෙක නැති වෙලා යනවා. මුකුත් ඉතුරු වෙන්නේ නෑ. බින්දුවයි.
ජේම්ස් හිතුව 564න් 123ක් අඩු කරන්න.
ඒ කියන්නේ 564 - 123.
එහෙමත් නැත්තන් ජේම්ස් කියන විදියට 564ට එකතු කරන්න ඕනේ ඍණ 123ක්.
ඒ කියන්නේ 564 + (-123).
හරි, ඒ කියන්නේ අපි පටන් ගන්න ඕනේ 564කින්. ඒ කියන්නේ “බෝල” 564කින්.
දැන් මේ යන්ත්රෙටම එකතු කරන්න ඕනේ -123ක්. ඒ කියන්නේ, ප්‍රතිබෝල 123ක්.
දැන් ඉතින් මොකද වෙන්නේ? හැම බෝලයක් සහ ප්‍රතිබෝලයක් තියෙන තැනක, ඒවා එකිනෙක නිශේදනය කරලා අතුරුදන් වෙනවා.
එතකොට ඉතුරු වෙන්නේ මෙන්න මෙහෙම.
ඒ කියන්නේ උත්තරේ 441යි. ඒ ගාණ ටිකක් ලේසි වැඩියි වගේ නේද? අමුතු දෙයක් පෙනුනේ නෑනේ. අපි ඉස්කෝලේ කරන විදියට කරත් ඔය උත්තරේම එනවා. ජේම්ස්ට තේරුණා වැඩේ. බලමු මේ 441න්ම 254ක් අඩු කරලා.
441 - 254
ඒ කියන්නේ දැන් මේ 441ක් තියෙන යන්තරේට දාන්න ඕනේ ප්‍රතිබෝල 254ක්.
ඊට පස්සේ බෝලයි ප්‍රතිබෝලයි යුගල වශයෙන් අතුරුදන් වෙන හැටි බලන් ඉන්න වෙනවා.
හරි වැඩේ. සමහර ප්‍රතිබෝල ඉතුරුයිනේ. ජේම්ස් හිතුව, “හ්ම්ම්ම් ඒ උනාට මොකටද බය වෙන්නේ. ප්‍රතිබෝල කියන්නේ ඍණ සංඛ්‍යාවක් කියන එකනේ. ඉතින් ඒක ඒ විදියට කිව්වම ඉවරයි.”
ඒ කියන්නේ, මේ තියෙන්නේ, “දෙසිය, ඍණ එක දහ, ඍණ තුනයි!”
ජේම්ස් නම් පුදුම ළමයෙක් තමයි. එහෙමත් කියන්න පුළුවන්ද සංඛ්‍යාවක්?
කිසි වැරැද්දක් නෑ ගණිතානුකූලව. උත්තරේ, සීයේ ඒවා දෙකයි, ඍණ දහයේ ඒවා එකයි, ඍණ එකේ ඒවා තුනයි.
“හැබැයි මෙහෙම අපි සංඛ්‍යා කියන්නේ නැනේ. කොහොමද මම මේක මිනිස්සුන්ට ඕනේ විදියට හදන්නේ?”
“අහ්හ් හිර වුණා නේද? දැන් මොකද කරන්නේ?” ජේම්ස් ඔළුවේ අත ගහගත්ත.
ඔයගොල්ලන්ට හිතන්න පුළුවන්ද මොකද කරන්න ඕනේ කියල? මේ තමයි ගණිතයේ සාරවත්ම තැන. මෙන්න මේ වගේ වෙලාවල් ආවම, ඒ ගැටලුව විසඳගන්න චින්තනය මෙහෙයවන එක තමයි ගණිතයෙන් අපි පුරුදු වෙන්න ඕනේ.
ජේම්ස් හොඳට කල්පනා කළා. කොහොමද මම මේක විසඳන්නේ? ජේම්ස් හොඳට, හෙමිහිට, පියවරෙන් පියවර කල්පනා කළා. වෙන්න ඕනේ මොකද්ද කියන තැන ඉඳන් ආපස්සට හිතන්න ගත්ත. මෙන්න ජේම්ස් හිතපු විදිය.
“මේක සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාවක් විදියට කියන්න නම්, හැම පෙට්ටියේම බෝල විතරක් තියෙන්න ඕනේ. ප්‍රතිබෝල තියෙන්න බෑ.”
“ප්‍රතිබෝල නැති කරන්න නම්, ඒ පෙට්ටිවල බෝල තියෙන්න එපැයි. මොකද ප්‍රතිබෝලයක් අතුරුදහන් වෙන්නේ, බෝලයක් එක්ක එකතු උනාමනේ. කොහෙන්ද මට දහයේ පෙට්ටියටයි, එකේ පෙට්ටියටයි බෝල ගෙන්න පුළුවන්?” එහෙම හිතපු ගමන් ජේම්ස්ට තේරුණා මොකක්ද කරන්න ඕනේ කියලා.
“හුරේ!!!”
“සීයේ පෙට්ටියේ බෝල දෙකක් තියෙනවනේ. ඒවා හැදුනේ දහයේ පෙට්ටියේ බෝල දහයක් පුපුරලනේ. ඉතින් මට ඒ බෝලයක් වෙනුවට දහයේ පෙට්ටියට බෝල 10ක් එකතු කරන්න පුළුවන්. ඒක හරියට පිපිරුමකට විරුද්ධ දේ උනා වගේ ආපස්සට.”
අපේ කොම්පියුටර් භාෂාවෙන් කිව්වොත් පිපිරුමක් undo කරා වගේ!
ජේම්ස්ට පුදුම සතුටක් මේ හිරවෙච්ච තැන ලෙහා ගත්තට. දැන් පැහැදිලියි මොකද කරන්න ඕනේ කියල. ප්‍රතිබෝලේ එක බෝලයක් එක්ක අතුරුදන් වෙනවා. ඊට පස්සේ ඒ පෙට්ටියෙන් තව එක බෝලයක් ආපස්සට ගේනවා 10ක් කරලා එකේ පෙට්ටියට. ඊට පස්සේ ඒ ප්‍රතිබෝල තුනත් බෝල තුනක් එක්ක එකතු වෙලා අතුරුදහන් වෙනවා. උත්තරේ එනවා ලස්සනට මෙන්න මේ විදියට!
187යි!
දැන් ඕගොල්ලෝ හිතනවා ඇති, ඉස්කෝලේ කියල දීපු ක්‍රමේ මීට වඩා ලේසියිනෙ. වේගවත්නේ. අඩු කිරීම ගැන, යන්ත්‍රයෙන් බෝල ඉවත් කරනවා කියල හිතුව නම්, මීට වඩා ලේසිනෙ කියල. මෙතන තමයි වැදගත් දෙයක් ඕගොල්ලෝ තේරුම් ගන්න ඕනේ. අඩු කිරීම කියන්නේ තියෙන දෙයින් යමක් ඉවත් කරනවා කියල හිතන එකත් හරි. ඒ කියන්නේ, අපි අන්තිමට කරපු 441න් 254ක් අඩු කරපු එක, ඕගොල්ලොන්ට ඕනේ නම් හිතන්න තිබුණා යන්ත්‍රයේ බෝල 441කින් බෝල 254ක් ඉවත් කිරීම කියල, ප්‍රතිබෝල කතාවක් නැතුව. ඒ විදියටත් කරලා බලන්න. ඕගොල්ලොන්ට පෙනෙයි, එතකොටත් ආපස්සට බෝල ගෙන්න වෙනවා කියල. ඒ විදියෙත් කිසිම වැරැද්දක් නෑ. නමුත් මෙතන ජේම්ස් කරපු දේ වටිනාකම තමයි, එකම සංකල්පයක් ගැන වෙනස් විදියකට හිතපු එක. ඕගොල්ලොන්ට ඉදිරියේදී තේරෙයි, අඩු කිරීම ගැන ප්‍රතිබෝල එකතු කිරීමක් විදියට හිතන එකේ වාසි.
අනිත් කාරණාව තමයි, අපි මෙතෙක් කරපු හැම දේකින්ම, ජේම්ස් අඳුන්නල දුන්නේ, ගණිත ක්‍රිකාරකම් කරන තවත් එක විදියක් එහෙම නෙමෙයි. එයා පෙන්නුවේ අපි මෙච්චර කල් කරපු දේවල් වල තේරැම. එහෙම නැතුව, ඕගොල්ලොන්ට එකතු කරද්දී, වැඩි කරද්දී, මේ යන්තරේ ඇඳල, බෝල ඇඳ ඇඳ කරන්න කියන එක නෙමයි මේ කිව්වේ. හැබැයි ඕගොල්ලොන්ට ඉස්සරහදි දකින්න පුළුවන් වෙයි, සමහර දේවල්, මේ පිපිරෙන බෝල යන්තරේ ගැන හිතල කරන එක ලේසියි කියල. ගණිතයේදී එහෙම තමයි අපි කරන්නේ. කෙටි ක්‍රමයක් තියෙනවනම්, අපි දිගටම ඒ විදියට දේවල් කරන්න පුරුදු වෙනවා. එත්, අපි දැනගන්න ඕනේ ඒ ක්‍රමේ හැදුනේ කොහොමද කියලා.
ඔබ මේ යන්තරෙත් එක්ක ගණිත කර්ම වල යෙදිලා, මෙහෙයවපු චින්තනය තමයි ගණිතයේ සාරය. එහෙම හිතපු අය නිසා තමයි ගණිතය කියල එකක් හැදිලා තියෙන්නේ.
දෙන්නද පොඩි අභියෝගයක්? කියන්න බලන්න 4 අඩු කිරීම 9 කොහොමද බෝල ඉවත් කිරීමක් විදියට කරන්නේ කියල! නැත්තම් ප්‍රතිබෝල පාවිච්චි කරලා කරන්නේ කොහොමද කියලා.
දැන් මේ දැකපු ප්‍රතිබෝල සංකල්පෙත් එක්ක හොඳට ගවේෂණයේ යෙදෙන්න. ඊළඟට එන්නේ අංක ගණිතයේ එන අන්තිම ගණිත කර්මේ, බෙදීම!
♦ ආචාර්ය ගයා ජයකොඩි